Eine Aktie fällt um 50 %. Am nächsten Tag steigt sie wieder um 50 %. Bist du wieder bei null?
Prozent kommt aus dem Lateinischen: pro cento = „pro hundert". 1 % ist also 1 von 100, oder als Bruch 1/100 = 0,01. Mehr ist es nicht. Alles andere folgt daraus.
„x % von y" heißt: nimm y, teile durch 100, mal x.
Eine Veränderung um x % rechnest du am elegantesten mit einem Faktor: +x % bedeutet „mal (1 + x/100)", −x % bedeutet „mal (1 − x/100)". Aus +7 % wird also der Faktor 1,07, aus −50 % der Faktor 0,5.
Weil du die Faktoren multiplizierst: 0,5 · 1,5 = 0,75 — du landest bei 75 %. Probier es selbst mit beliebigen Veränderungen:
Der Zins steigt „von 2 % auf 3 %". Um wie viel? Beides ist richtig, aber verschieden: Es sind 1 Prozentpunkt (die absolute Differenz, 3 − 2) — und gleichzeitig +50 Prozent (relativ, denn 1 ist die Hälfte von 2). Wer das verwechselt, versteht halbe Wirtschaftsnachrichten falsch. Merke: Prozentpunkt = Differenz, Prozent = Verhältnis.
Mehrere Veränderungen hintereinander sind ein Produkt von Faktoren:
Deshalb ist der richtige Mittelwert von Renditen nicht der arithmetische, sondern der geometrische Mittelwert (die n-te Wurzel des Produkts). Beispiel: +50 % und −50 % haben arithmetisch den Mittelwert 0 %, geometrisch aber √(1,5 · 0,5) − 1 = √0,75 − 1 ≈ −13,4 % pro Periode — und genau das spiegelt deinen realen Verlust wider.
Weil Multiplizieren mühsam ist, rechnen Profis mit logarithmischen Renditen ln(1 + r). Die darf man nämlich addieren: ln(a·b) = ln(a) + ln(b). So werden aus mühsamen Produkten einfache Summen — die Grundlage fast aller Finanzmathematik.
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